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谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。——物理学家惠勒
虽然惠勒的这句话目前并没有达到标准，但是可以看得出，分形在他心中有着多么崇高的地位。
所谓的分形，就是下面这些图片的模样。
分形不仅美，能引起“极度的舒适感”，而且蕴藏着高深的数学奥秘。今天，咱们来研究研究，到底什么是分形。
分形的最早研究
20世纪初，英国数学家刘易斯·弗莱·理德查森（LewisFryRichardson）在研究英国海岸线的时候，第一次发现了分形的奥秘。他发现，一条海岸线的长度不是绝对的，它取决于你用什么样的尺子来测量。考虑到海岸线被冲刷成的不规则图形，你采用的测量仪器越精细，这条海岸线就越长。
举个例子：当你用一只快艇绕岛环形，测量出岛的周长就是快艇行进的距离。但是，如果你用尺子去测量，就会发现岛屿的边缘被海水侵蚀而凹陷，那么就要把凹陷的长度算进去。如果你看得更加精细，发现即使是一个拳头那么大的岩石也有不规则形状的凹陷，那么还要计算这部分凹陷的长度。而且，当你把海边的一块岩石放大到足够大，会发现它的边缘和整座岛的边缘是那么的相似！不考虑量子领域的问题，那么如果测量得足够精细，这座岛的海岸线将是无限长的。这是一个悖论：有限的面积，却有着无限的周长。
他的这个发现，和年是瑞典数学家科赫（HelgevonKoch）提出的一个悖论。他提出：取一个三角形（虽然没有规定，但通常默认为是正三角形），在每一条边的两个三等分点之间，接上一个边长只有其三分之一的小三角形，如下图所示。
这就是著名的科赫三角形，或者叫科赫曲线。如此无限循环，最终可以得到雪花的形状。
和科赫三角形正好相反，波兰数学家谢尔宾斯基在年提出的谢尔宾斯基三角形，则是将小三角形放在了内部。具体作图过程我们不介绍了，大家一眼就能看出来。
在更早的年，德国数学家格奥尔格·康托尔提出了著名的康托尔集（最终和其他理论一起导致了第三次数学危机），也是一个分形。通过将一根线段三等分、删掉其中一段，然后对新的两根线段进行无限的重复操作就可以得到：
不过，直到年，芒德布罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，才首次提出了分形的设想。
什么是分形
所谓的分形，通常的定义是“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”。
就像刚才说的海岸线的岩石，当你看得足够细微时，它的每一个棱角都像是一座小岛的海岸线。又如科赫三角形，你看到的每一个小三角形都附着在一个更大的、同形状的三角形上，同时又被更小的三角形以同样的方式附着。这种现象，被称作自相似性。
实际上，我们在上小学的时候就接触过一种分形——*金分割。
想一想，*金分割点的定义是什么？是将一个整体分割的比例，使其分割后较小部分和较大部分的比值，等于较大部分和整体的比值。以下面的线段为例，C为*金分割点，则BC:AC=AC:AB。*金分割比例，大约是0.。
想象一下，AC之间也有*金分割点，BC之间也有*金分割点，它们被分割后出现的新线段也有*金分割点，可以无限分割下去。不仅仅是线段，长方形的宽和长的比也可以达到*金分割比例。*金分割在生活中非常常见，被认为是最优美的比例。
生活中的分形
实际上，分形不仅仅是数学家们一时兴起画出来的。在自然界中，分形可以说是随处可见。比如我们常见的十字花科蔬菜，很多都是典型的分形结构。比如经常在介绍分形的文章中被提及的罗马花椰菜——
还有我们常吃的菜花、西蓝花，也都是分形的结构。
再比如叶脉，从主脉上分出了大量的侧脉（或者叫粗脉），每一根粗脉上又会分出许多细脉。
又或者我们常见的树木，从树干分出了树枝，而每一根树枝上又会分出大量的枝桠。如果你单独观察一根枝桠的话，你很难搞清楚它到底是“第几级”的枝桠。
除了植物以外，分形在其他自然物质中也非常常见。比如刚才提到的科赫三角形，被认为无限延伸就会很像雪花。实际上，雪花也是一个分形。
远古生物菊石，壳上的每一个腔体基本上都是前一个腔体的碳复制品，只不过比前一个小一点。
或者你干脆拿出两面镜子，相对而立，你就会在任意一面镜子里看到无限的分形世界。
由此可见，分形在我们的现实生活中，可以说是随处可见。
艺术中的分形
众所周知，达·芬奇是在创作过程中最注重内涵的画家，其中经常会涉及到*金分割点，比如下面这样著名的作品——
年，日本艺术家葛饰北斋创作了《神奈川冲浪里》，这是一幅色彩斑斓的海浪图，海浪的顶部断裂成越来越小的（自相似的）海浪，同样是分形的完美展现。
甚至在你想象不到音乐里，也有分形的艺术。在莫扎特、巴赫等人的音乐作品里，人们都曾经找到过分形的痕迹。这种类型的音域的特点是，在不同的音域中同时以不同的节奏在不同的音域中重复出现的旋律或节奏主题。当然，音乐里的分形不会像图形里一样是无限的，但是在有限的循环中，我们依然可以感受到音乐的美。关于音乐和科学的关系，有机会我们会单独来聊~
分形的减压能力
分形的图片看起来不仅美观精致，而且还有神奇的解压效果，也就是网络上常说的用语：“引起极大舒适感。”
当分形动起来，其引起人脑的放松状态，甚至可以达到催眠的效果
分形的减压效果不是凭空说的，还真有科学家做过相关的研究。他们给受试者观看分形的图片，然后对其脑部进行核磁共振的扫描，结果显示：在合适的分维下（分形的维度，这里不做介绍了），受试者负责调解情绪的海马旁回区域会被激活。而这个部位，在听音乐的时候也会被激活。
分形中的自然奥秘
如果你以为分形的出现只是为了让你看着舒服，那就大错特错了。除了艺术和植物方面，分形还在经济、医学、地球物理学甚至哲学方面，给我们以深深的指导。
年，在分形的概念刚刚被提出后不久，就有人利用这个原理，在计算机上从三角形开始分形，最终创造了一个令人惊叹的逼真的山脉图像。
20世纪90年代，内森·科恩（NathanCohen）受到科赫三角形的启发，仅仅用一根铁丝和一把钳子就制作出了一个更紧凑的无线电天线。如今我们的手机里，也有类似的结构。
从经济学家角度说，人类的经济始终处于一个波动的状态，每一次波动和以往的波动图像都很相似，可以看作是一种分形。这告诉我们：循环往复本就是经济的常态，它不可能永远持续走高。
这也是很多哲学家所信奉的准则：世界本就是在循环之中，大中有小，小中有大，给我们以巨大的启示。
说到这里，我想到了《老子》中的一句话：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”人类对于自然界的深奥智慧早就有了深刻的思考，分形也不例外。从几千年前到现在，人类都能感受到分形之美，只是表达的方式不同。
除了分形之外，大自然暗示给我们的深奥智慧还有很多。以人类的智力来看，我们恐怕还需要探求很久吧！